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悦思故事

关于一道经典“半角模型”题目的讨论

发布时间：2014年7月10日此新闻已被浏览 5343 次

7月9日，晚21:00，卢海昕、何昱辰和慕容老师，同一时间却不同空间，宝鸡，西安。

暑假安怡老师第一讲课前讲评，慕容曾带大家一起复习了初二重难点知识-----旋转。重点分析了“手拉手模型”，不知用心听课的孩子们还记得吗？同时老师也抛出了另一个“半角模型”。话说今晚的讨论与此息息相关。

先来还原昨晚场景，海昕扣扣上找到我说想问道问题，于是很快我们进到了测试课堂。

问题如下：（2）如图所示，已知△ABC为等边三角形，周长为L，AN=x，△BCD为顶角为120°的等腰三角形，∠NDM=60°，请用x，L表示△AMN的周长。

起先，我试图判定三角形NDM为直角三角形，再利用特殊角度算出MN的长度，但此方法行不通哒，因为即使判断△MND为直角三角形也难以求出AM的长度。而此时课堂上出现了另一位同学——何昱辰（一直是我的得意干将，哈哈），同时，我们三个一直也在纠结一个问题，就是特殊的角度角MDN没有用到。海昕此时提出，这个问题是一道题的第二问，说不定还原本题能得到启示，我们一致点头同意。

下面为原题第一问：（1）如图所示，已知△ABC为等边三角形，周长为L，AN=x，△BCD为顶角为120°的等腰三角形，∠NDM=60°，M，N分别是AB，AC边上一点，求△AMN的周长。

此图一出，我立即意识到这是经典的“半角模型”，须用到旋转知识，在我们的共识下，马上得到了答案。此时海昕麦克风无法使用，昱辰用富有弹性的声音完美阐释该题。

笔锋一转，又回到了海昕起初的问题上，还未等我做出解释，海昕用清晰的辅助线和昱辰的描述华丽的做出了该题。

下面我们可以一同看看这两个孩子的解答：

（1）

解：将△BDM绕D点顺时针旋转120°至△CDM’

根据旋转不变形可知，△BDM≌△CDM’

提示：在此一定要说明N、M’、C三点公共线，亲爱的小伙伴你们知道为什么吗？

∴MD=DM’，∠1=∠2

又∵∠MDN=60°，∠1+∠3=60°

∴∠MDN=∠NDM’=60°

即△MND≌△M’DN（SAS）

∴MN=M'N=BM+CN

即△ANM周长=AM+AN+MN=(AM+BM）+(CN +AN )=AB+AC =2/3L

（2）

解：将△BDM绕D顺时针旋转120°至△CDM’

根据旋转不变性△BDM≌△CDM’

∴MD=M'D，∠MDB=∠M'DC

又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°

∴∠MDN=∠M'DN=60°

∴△MDN≌△M’DN（SAS）

∴MN=M'N=AN+AC-CM’

△AMN周长=AM+AN+NM=（AB+M’C）+AN+（AN+AC-CM’）=2AN+AB+AC=2x+2/3L

以上就是昨晚我和两个孩子在测试课堂关于这道问题的探讨。

希望孩子们善于反思，学会融会贯通，举一反三。在悦思，我相信，只要你爱学习，老师都会乐此不疲的为你们悉心点拨。期待孩子们更加茁壮的成长。

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